重点サンプリング

一般に系の自由度 $\phi$ に対し Hamiltonian $H$ で記述 される系があるとする。 カノニカル・アンサンブルに対し、ある物理量 $A$ の期待値は、 次のように表される。

$$\langle A \rangle = \frac{1}{Z} \sum_{\rm states} A[\phi] e^{-\beta H[\phi]}$$ (55)

ここで、$\phi$ は系の自由度、$H$ はその Hamiltonian、 $A$ はある物理量とする。 和は、すべての状態について取る。 Ising モデルの場合には、$\phi$ は 各格子点のスピン $S_i = \pm 1$、 $A$ としては磁化や比熱、相関関数などとなる。 $N$個のスピンからなるIsing系では、状態数は$2^N$個となり、 $N$が小さい場合を除いて、すべての状態について実際に和を 評価することは現実的ではない。

一方、上の式で、Boltzmann 因子 $e^{-\beta H[\phi]}$ は、 確率測度として解釈することができる。 この場合、系の配位 $\{\phi\}_i$ をこのBoltzmann 因子 に等しい出現確率で生成することができれば、 その各配位に対して物理量$A[\phi]$を計算して平均することに よって、$A$の統計力学的平均値 $\langle A \rangle$ を得ることが出来る。 即ち、

$$\langle A \rangle \simeq \frac{1}{N_{sample}} \sum_i A[\phi_i]$$ (56)

ここで $\phi_i$ は、 $e^{-\beta H[\phi]}$の確率で 生成される、$i$番目の場の配位である。 この方法では、 $\langle A \rangle$ への寄与が大きい配位、 つまり Boltzmannウェイトが大きい配位を集中的に 生成することによって、 効果的に計算を行なうことができる。 このような方法を、重点サンプリング(important sampling) と呼んでいる。