平均場理論の限界

平均場近似による解析は、Ising モデルでスピン間の協力現象 によって自発磁化が生じる機構を自然な形で説明できた。 しかしながら、平均場近似では、スピンに作用する相互作用 を、文字通り「平均場」として扱うために、スピン間の相関に よる揺らぎの効果が取り入れられていない。 このため、このような効果が重要となる、相転移近傍での 物理量の振舞いを正しく記述できない。 このことは、臨界指数を見ることによって明確になる。

Table 1: Ising ユニバーサリティ・クラスの臨界指数。

Exponent	Mean-field	Experiment	Ising (d=2)	Ising (d=3)
$\alpha$	0(discontinuity)	0.110-0.116	0 (log)	0.110(5)
$\beta$	1/2	0.316-0.327	1/8	0.325$\pm$ 0.0015
$\gamma$	1	1.23-1.25	7/4	1.2405$\pm$ 0.0015
$\delta$	3	4.6-4.9	15	4.82(4)
$\nu$	1/2	0.625$\pm$0.010	1	0.630(2)
$\eta$	0	0.016-0.06	1/4	0.032$\pm$0.003

Table 1は、Isingモデルと 同じユニバーサリティ・クラスに属する系の臨界指数である [1]。 平均場近似の結果は、これまでに説明した解析法から、 熱力学関数を相転移点の近くで$(T-T_c)/T_c$について 展開することによって得られる。 相関関数に関する臨界指数については、これらの平均場理論の 本質的な効果を取り出し、秩序変数を自由度とする Hamitonian で系を記述する、Landau 理論の解析によって得られる。 これらの平均場理論による臨界指数は、次元に依らない。

Table 1で `Experiment'の列は、Ising モデルと同じユニバーサリティ ・クラスに属する3次元の流体系の実験から得られた数字で、 実験誤差が示されている。 $\nu$ と $\delta$ は他の臨界指数との関係から得られた数字である。 最後の2つの列は、Ising ユニバーサリティ・クラスの臨界指数の 理論的な数値である。 2次元での数値は Onsager (1944) による解析解からのものであり [2]、3次元での数値は繰り込み群の方法を使った 解析の結果である[5]。

これらを見ると、平均場理論による臨界指数は、 実験やより正確な理論的計算の結果を定性的には再現しているが、 定量的なレベルでは明らかな違いがある。 これは既に述べたように、臨界現象で重要な役割を果たす揺らぎの 効果が含まれていないためである。 これを正しく取り入れた計算法は、Wilsonらによって開発された 繰り込み群の理論によって与えられた。