平均場理論の限界

平均場近似による解析は、Ising モデルでスピン間の協力現象によって自発磁化が生じる機構を自然な形で説明できた。しかしながら、平均場近似では、スピンに作用する相互作用を、文字通り「平均場」として扱うために、スピン間の相関による揺らぎの効果が取り入れられていない。このため、このような効果が重要となる、相転移近傍での物理量の振舞いを正しく記述できない。このことは、臨界指数を見ることによって明確になる。

Table 1: Ising ユニバーサリティ・クラスの臨界指数。

Exponent	Mean-field	Experiment	Ising (d=2)	Ising (d=3)
$\alpha$	0(discontinuity)	0.110-0.116	0 (log)	0.110(5)
$\beta$	1/2	0.316-0.327	1/8	0.325 $\pm$ 0.0015
$\gamma$	1	1.23-1.25	7/4	1.2405 $\pm$ 0.0015
$\delta$	3	4.6-4.9	15	4.82(4)
$\nu$	1/2	0.625 $\pm$ 0.010	1	0.630(2)
$\eta$	0	0.016-0.06	1/4	0.032 $\pm$ 0.003

Table 1は、Isingモデルと同じユニバーサリティ・クラスに属する系の臨界指数である [1]。平均場近似の結果は、これまでに説明した解析法から、熱力学関数を相転移点の近くで

について展開することによって得られる。相関関数に関する臨界指数については、これらの平均場理論の本質的な効果を取り出し、秩序変数を自由度とする Hamitonian で系を記述する、Landau 理論の解析によって得られる。これらの平均場理論による臨界指数は、次元に依らない。

Table 1で `Experiment'の列は、Ising モデルと同じユニバーサリティ・クラスに属する3次元の流体系の実験から得られた数字で、実験誤差が示されている。 $\nu$ と $\delta$ は他の臨界指数との関係から得られた数字である。最後の2つの列は、Ising ユニバーサリティ・クラスの臨界指数の理論的な数値である。 2次元での数値は Onsager (1944) による解析解からのものであり [2]、3次元での数値は繰り込み群の方法を使った解析の結果である[5]。

これらを見ると、平均場理論による臨界指数は、実験やより正確な理論的計算の結果を定性的には再現しているが、定量的なレベルでは明らかな違いがある。これは既に述べたように、臨界現象で重要な役割を果たす揺らぎの効果が含まれていないためである。これを正しく取り入れた計算法は、Wilsonらによって開発された繰り込み群の理論によって与えられた。