Weiss の平均場理論

平均場理論では、ある格子点上のスピンは、外から与えられた 場($H$)に加えて、系のスピンがつくり出す磁場からの作用を 受けるものとする。 即ち、格子点 $i$ のスピン $S_i$ は、磁場 $H+\frac{1}{V}\sum_i\langle S_i \rangle$ を受けるものとし、この時の $\langle S \rangle$ の値を self-consistent に求める。

Site $i$ での局所的磁場を $H_i$ と書くと、

$$H[S,H] = - \sum_i S_i H_i$$ (46)

$$H_i = \sum_j J_{ij} \langle S_j \rangle + \sum_j J_{ij} (S_j - \langle S_j \rangle )$$ (47)

ここで、平均場理論では、第2式の右辺第3項、即ち 揺らぎの効果をを無視する。 d-次元の正方格子の場合、

$$H_i = H + 2dJM$$ (48)

となる。 ここで $M$は

$$M = \langle S_i \rangle .$$ (49)

であり、$M$ に対する self-consistent な関係式は

$$M = - \frac{1}{V} \frac{\partial F}{\partial H} = \tanh \left( \frac{H+2dJM}{k_BT} \right)$$ (50)

となる。 外場 $H$ が無い場合でも、自発磁化の効果が第2項に存在する。 $H=0$ とすると、

$$M = \tanh \left( \frac{2dJM}{k_BT} \right)$$ (51)

であるが、これを満たす $M$ は、$y=M$と $y=\tanh(2dJM/k_BT)$ との交点として求めることができる (Figure 1参照)。

$$T_c = \frac{2dJ}{k_B}$$ (52)

よりも高い温度 $T$ では、交点は $M=0$ にしか存在せず、 自発磁化は生じない。 $T<T_c$ では $M=0$ 以外にも、 Eq. (51)を満たす $M$ が存在する。

Figure 1: 2次元Isingモデルの平均場近似による解析。 左図は、$T=0.8T_c$の場合について、 Eq. (51)を満たす磁化$M$を求める様子を 示した。 右図は$T/T_c$に対する磁化$M$のプロット。