転送行列

1 次元 Ising モデルは、転送行列の方法を使って解くことができる。 ($H=0$の場合には簡単に解く方法もあるが、重要な手法なので転送行列 を用いる。) $N$-自由度系を考え、周期的境界条件: $S_{N+1}=S_1$ とする。

$$Z_N(h,K) = \mbox{Tr}\exp\left[ h\sum_i S_i + K \sum_i S_i S_{i+1} \right]$$ (16)

ここで、$K=J/k_BT$、$h=H/k_BT$。 因子の積で表すと、

$$Z_N(h,K) = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \cdots \sum_{S_N} [ e^{ \... ...S_2 S_3 } ] \cdots [ e^{ \frac{h}{2}(S_N+S_1) + K S_N S_1 } ]$$ (17)

ここで、それぞれの項を、行列の要素とみなす。 例えば、

$$T_{S_1 S_2} = [ e^{ \frac{h}{2}(S_1+S_2) + K S_1 S_2 } ]$$ (18)

即ち、$S_1$、$S_2$が次のような行列${\cal T}$のラベルであると解釈する。

$${\cal T} = \left( \begin{array}{cc} T_{1,1} & T_{1,-1} \\... ... e^{h+K} & e^{-K} \\ e^{-K} & e^{-h+K} \end{array} \right)$$ (19)

このとき、

$${\cal T} = S \left( \begin{array}{cc} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right) S^{-1}$$ (20)

と相似変換を行うことが出来る。 ここで、$\lambda_1$、$\lambda_2$ は、${\cal T}$のふたつの 固有値とし、 $\lambda_1 \geq \lambda_2$ とする。 これらは容易に次のように求まる。

$$\lambda_{1,2} = e^K \left[ \cosh(h) \pm \sqrt{ \sinh^2(h)+e^{-4K} } \right]$$ (21)

従って分配関数は、

$$Z_N(h,K) = \sum_{S_1} \sum_{S_2} \cdots \sum_{S_N} T_{S_1 S_2} T_{S_2 S_3} \cdots T_{S_N S_1}$$ (22)

$$= \mbox{Tr}[{\cal T}^N] = \lambda_1^N + \lambda_2^N$$ (23)

これより、自由エネルギー密度は、 $N\rightarrow \infty$ の極限で、

$$f \equiv \frac{F}{N} = - \frac{k_BT}{N} \log Z_N[h,K]$$

$$= -J - \frac{k_BT}{N} \log \{ \lambda_1^N (1 + (\lambda_2/\lambda_1)^N) \}$$ (24)

$$\rightarrow -J - k_BT \log\left[\cosh(h) + \sqrt{ \sinh^2(h)+e^{-4K}} \right]$$ (25)

となる。

$T>0$ では、実の $h$、$K$に対して $f$ は解析的、 即ち相転移は存在しない。 非解析的になるのは、2乗根の中がゼロとなり、 $\lambda_1=\lambda_2$となる場合か、$\lambda_1 =0$となる場合 であるが、これは、次の Perron の定理によって斥けられる。

Perron-Frobenius の定理:
$N \times N$ 行列 $(N< \infty)$ $A$ で $A_{ij}>0$ (for all $i,j$) について、その最大の固有値は次の性質を持つ: (a) 実、正定値、(b) 非縮退、(c) $A_{ij}$ の解析的関数。

これによって、$T>0$ では相転移が起こらないことが結論づけられる。 これは、1次元の場合の特徴である。 1次元では転送行列は $2\times 2$ 行列であったが、 2次元以上の場合には、転送行列は熱力学極限では $\infty \times \infty$ の行列となり、Perron-Frobenius の定理は適用できない。

1次元で $T\rightarrow 0$、従って $K\rightarrow \infty$ の場合を考える。 この時、 $\lambda_1=e^K[\cosh(h)+\vert\sinh(h)\vert]=e^Ke^{\vert h\vert}$ であるので、

$$F=-N(J+\vert H\vert).$$ (26)

$T=0$では、$h$に対し、$h=0$で$F$は非解析的。 磁化は、

$$M = - \frac{1}{N} \frac{\partial F}{\partial H} = \left\{ ... ...box{for $H>0$} \\ -1 & \mbox{for $H<0$} \end{array} \right.$$ (27)

まず、$H=0$の場合。 このとき、自由エネルギーは、

$$F=-k_BTN[K+\log(1+e^{-2K})]$$ (28)

内部エネルギー

$$E = -\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z = -NJ \tanh (\beta J)$$ (29)

比熱

$$C = -\frac{dE}{dT} = - \frac{NJ^2}{k_BT^2} \mbox{sech}^2 (J/k_BT)$$ (30)

磁化

$$M = -\frac{1}{N} \frac{\partial F}{\partial H} = \frac{\sinh h}{\sinh^2 h + w^2}$$ (31)

とそれぞれなる。 ここで、$w=e^{-4K}$ は、すべて上(あるいは下)向きのスピンの 配位に対して、ひとつのスピンだけがフリップした状態の 相対確率に対応する。 等温磁化率 $\chi_T$ は次の式で定義される。

$$\chi_T \equiv \frac{\partial M}{\partial H}$$ (32)

$h$ が小さい時、 $\sinh h\simeq h$ より、

$$M\simeq e^{2K} \frac{H}{k_BT}$$ (33)

この近似の時、磁化率 $\chi_T$ は、

$$\chi_T = \frac{e^{2J/k_BT}}{k_BT}$$ (34)

高温と低温での極限では、

$$\chi_T = \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 1/k_BT & \mbox... ...BT} }{k_BT} & \mbox{as $T \rightarrow 0$} \end{array} \right.$$ (35)