2点相関関数

2点相関関数は次のように定義される。

$$G(i,j) \equiv \langle\, (S_i - \langle S_i\rangle) (S_j - \langle S_j\rangle) \, \rangle$$ (36)

転送行列の方法で求めるには、まず、 $\langle S_i \rangle$ を次のように表す。

$$\langle S_i \rangle = \frac{1}{Z} \sum_{S_1}\sum_{S_2}\cdot... ..._2} \cdots T_{S_{i-1} S_i} S_i T_{S_i S_{i+1}} \cdots \right]$$ (37)

ここで、

$$\sum_{S_i} T_{S_{i-1} S_i} S_i T_{S_i S_{i+1}} = \left[ {\c... ... = \left[ {\cal T} \sigma_z {\cal T} \right]_{S_{i-1}S_{i+1}}$$ (38)

ここで $\sigma_z$ は Pauli 行列のz成分。 ${\cal T}' = S^{-1}{\cal T}S$ を対角行列とする相似変換を ${\cal T}$に対して行い、この変換行列 $S$に対して

$$S^{-1} \sigma_z S = \left( \begin{array}{cc} e & g \\ f & h \end{array}\right)$$ (39)

とする。 $e, f, g, h$ は $S$ がTの固有ベクトルから構成されることから あらわに計算出来る。 このとき、

$$\langle S_i \rangle = \frac{ \mbox{Tr}[ S^{-1}\sigma_z S ({\cal T}^N)] }{ \mbox{Tr}[({\cal T}^N)] }$$ (40)

$$= \frac{e \lambda_1^N + h \lambda_2^N }{\lambda_1^N + \lambda_2^N}$$ (41)

$N\rightarrow \infty$の熱力学的極限では、分子の第1項のみが寄与する。

同様に、

$$\langle S_i S_{i+j} \rangle = \frac{1}{Z} \mbox{Tr}\left[ (S^{-1}\sigma_z S) ({\cal T}')^j (S^{-1}\sigma_z S) ({\cal T}')^{N-j} \right]$$ (42)

$$= \frac{1}{Z} \mbox{Tr}(\lambda_1)^N \left[ e^2 + fg \left( \frac{\... ...\lambda_1} \right)^j + h^2 \left( \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \right)^N \right]$$ (43)

$N\rightarrow \infty$の熱力学的極限では、第1、2項のみが寄与し、

$$\langle S_i S_{i+j} \rangle - \langle S_i \rangle^2 = fg \left( \... ...t)^j = fg \exp\left[ - j \log\left( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right) \right]$$ (44)

これより、相関距離は

$$\xi = \frac{1}{\log(\lambda_1/\lambda_2)}$$ (45)

$h=0$ では　 $\xi=1/\log \tanh K$ となる。

$\lambda_1 \neq \lambda_2$ では、$\xi$は発散しない。 一般に、転送行列の最大固有値が縮退しない限り、$\xi$は発散しない。 $h\neq 0$では、 $\lambda_1 > \lambda_2$ なので、この場合 相転移は無い。 $h=0$では、$K=0$ 即ち $T=0$ で $\lambda_1=\lambda_2$なので、 相転移が起こる。